《心智、脑与教育》——学习数学的脑
2017-11-10 10:39:33.0 作者：159zx
数学组 郑晚露
数学能力，是九种基本能力的混合物：数感、数学能力、空间思维能力、因果感受力、追踪事实或事件的因果关系并进行建构的能力、运用运算法则的能力、处理抽象概念的能力、逻辑推理能力、关系推理能力。作者认为，最关键的能力——处理抽象概念的能力和语言能力同等重要。
我们所知道的人脑关于数学的学习
刚出生2天的婴儿就已经表现出对基本算数事实的先天知识。
人类和其他一些物种的脑有形成（不连续）整数概念的能力。在涉及小的整数（如1、2、3）的运算情境中，人类和其他一些物种的脑可以分辨出正确和错误的答案
例如：宠物狗会算算数，用叫声代表答案
这种先天的能力对小的整数1、2、3进行准确加减的表现并不能扩展到其他数字中，超过3的数字和算术需要运用语言能力，并且需要训练。尤其是数字的心理存储和提取，是通过最初学习时使用的符号来进行的。
得到的启示
如果向儿童传授数学知识时用到的语言不同于儿童初次学习基本数字事实时所用的语言（尤其是数字的名称和乘法口诀表），很可能不利于儿童的学习。
亚洲儿童具有一种相对于西方同龄人的显著优势。因为基本数字在汉语、日语和韩语中都是单音节词，而在英语、法语、西班牙语以及其他西方语言中，数字命名系统要复杂得多，比如十一、十二、十三、二十、三十等。
对数学教学的启示
人与生俱来的数感，在1——3范围内是准确的。随着数字的增大，就要通过训练，运用语言能力来准确操纵大于3的数字——实际上，远远超过3.
如何训练：
首先，在先天的数感的基础上，我们建立了正式的数的概念（自下而上），我们还要运用语言来确保精确性，并生成数字（自上而下）。
其次，加减乘除基本运算，对应着这世界上我们所见到和经历过的东西，以及我们所进行的活动（比如将一些物体放到一起，称重量、分配等）。这样算术就可以建立在我们队世界的经验基础上，这是一种自下而上的加工。（如有理数乘法法则的建立）但是这些活动需要经过计算来获得精确的答案，未来进行这样的计算，我们不得不使用人类发明的符号化程序（也就是算法，我们称之为法则），这是自上而下的加工。
需不需要机械记忆学习？
围绕数学教育展开的一些争论涉及这样的问题。
一种极端的观点认为，数学教育就应该完全以概念理解为重点，不考虑机械记忆学习；另一种极端的观点认为，数学教育应该重视基本数字事实的机械记忆学习，并且重复练习运算过程，这种方法常被支持者称作“操作与技能”，而被反对者称为“操练与扼杀”。
作者认为，最佳的方法，也是唯一可行的方法，是介于两个极端之间。
神经科学告诉我们，学习涉及脑中多个神经通路的建立或者强化，而这可以通过重复来实现。据笔者所知，重复是大脑进行学习的唯一方法。这种理解为强调基本算术教育要依靠机械记忆学习的观点提供了强有力的支持，不进行机械记忆学习，没人能够学会乘法口诀表。
另一方面，许多研究都表明，仅仅依靠机械记忆学习只能建立结构狭窄且不牢固的知识，虽然靠这种方法复制或者背诵所学到的东西可以通过考试，但这种方法未必能让人理解新知，也不能实际运用它们。要获得可运用的知识，并形成有用的技能，机械记忆学习必须与理解结合起来。注意，是与理解结合，而不是用理解来代替。
数学是一项活动，必须自己来做。“做数学”弗兰等塔尔所说。就像开车或者滑雪，看一万遍，没有下水去游，还是不会（康杰讲座中提到），所以，它需要掌握基本技能。在机械记忆之外，也需要必要的理解，二者缺一不可。
从脑动作的方式以及脑通过语言来产生和处理数字的方式看，学习乘法口诀表实质上是一项语言任务，而不是数学任务。
代数的学习
从代数开始，大部分除算术外的数学问题向人脑提出了一项新的挑战：抽象概念。
算术和数字最基本的构成单位就是抽象概念，但这些抽象概念是我们生活中的具体事物紧密联系在一起的。我们数数、测量、买东西，制造东西、打电话、去银行、查看棒球比赛比分等。然而，有了代数后，抽象的水平更高了，代数思维并不只是用字母代替数字的算术，它是一种不同的思维方式。
代数是对不同数之间的逻辑关系进行思考，而不是用数来计算。X和y通常表示一般的数字，而不是特定的数字。在代数中，我们用分析的和定性的方法进行有关数的推理；而在算术中，我们用数值和定量的方法对数字进行推理。
当学生开始学习代数时，他们会不可避免地试图用算术的思维来解决问题。实际上，算术越好的学生，他就会越多地用算术思维来解决代数问题。要掌握最基本的代数问题，学生必须停止算术思维，学习用代数的方法来思考。
对于大多数学生而言，代数是他们第一次遇到的一种典型的现代数学思维——对纯粹抽象概念的准确地、逻辑地和分析性的思维。虽然有经验的数学家会认为这样的思维“很自然”，但这却是大量训练和练习的结果。脑，根本不会认为这样的思维很自然。这种思维需要学习，所知的唯一办法就是自上而下的学习。先学习基本规则，适当的时候就可以产生意义和理解——因为人脑会在自己的经验中寻找如何解释它们。
研究表明，最有效的教授数学的方法是让学生直面问题。在适当的时候提供新概念或方法的例子，给学生实践并带领他们探索这些例子，然后教给他们纯粹抽象的、正式的、基于规则的新的数学知识。只有在这之后，教师才可以展示刚才所学的正规知识是如何解决早先提出的实际问题。这当然是结合了自下而上和自上而下两种思维的系统方法，它促进了我们对脑学习数学方式的理解。
计算脑
我们天生不懂数学？
皮亚杰认为，数学知识是缓慢建构的。但实际上，儿童在出生时并非毫无数学概念，几个月大的婴儿也表现出计数的能力。当一个数据集突然发生变化时，即使6个月大的婴儿也能分辨出来。学龄前儿童有对数的直觉。
近似数
数字系统的精确性最初并不高，但在儿童时期有所提高，达到了成人精确水平的15%左右。估算系统的精确性不断提高在数量意识的发展过程中起到了实质性的作用。在青少年时期所测得的数量估算的准确性，可以预测儿童在数学学业标准化考试中的表现。估算系统赋予儿童对数的早期直觉，这对他们日后在学校学习中对算术的理解非常重要。天生的估算能力赋予儿童一种“直觉”，使得他们可以处理从未见过的问题，并因此开始算术学习。
依靠脑成像技术，已经确认了人脑中对数感至关重要的区域——它位于人脑两个半球上后方的顶叶内部，在一个叫顶内沟的皮层裂内。无论何时想到数字，这个区域就会被激活；不论进行的数字任务是什么，加减乘除，它也被激活；仅仅看一眼阿拉伯数字或者一堆物体，就足以引发它的激活。
算术训练可以开发估算系统，同样可以开发其他可识别语音形式的符号数字表征。算术教育的一个重要目标应该是提高信息在不同皮层表征之间流动的流畅性，直到产生直觉。
算术教育的另一个重要目标应该是提高数量直觉的流畅性。通过儿童在基本运算达到高度熟练和自动化的水平，以解放他们的思维，让儿童能够解决更复杂的问题。达到高度熟练和自动化后，它解放了前额叶中的工作记忆资源来做其他事情。
运算脑
基本的数字和数学技能对于指导我们的日常生活有着至关重要的作用，也是我们事业成功的决定性因素。研究表明，相对于儿童的读写能力，数字和数学水平是预测未来学业和人生成功的更好的指标。
有3%——5%的人在数学和数学的学习上有困难，通常被称为发展性计算障碍。